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   人教版小学数学全部概念和公式
一、基础知识复习
一)整数、小数、分数、负数
概念:(一)整数
1 】 整数的意义 : 自然数和0都是整数。
2 】 自然数: 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 没有最大的自然数,自然数的个数是无限的。
3】  计数单位:
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4 】  数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 有个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位。
5】  数的整除:
整数a除以整数b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数(因数)。
6】  整除常识:
※ 个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。
※ 个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。
※ 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。
※ 一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
※ 一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。例如:16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
※ 一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。

7】  偶数、奇数、质数、合数:
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数
※ 能被2整除的数叫做偶数。 0也是偶数。
※ 不能被2整除的数叫做奇数。
※ 一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数.100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
※ 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12都是合数。
※ 一个数的约数(因数)的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。例如:10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
※ 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有:3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。
※ 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
※ 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数:28=2×2×7
8】  最大公约数和最小公倍数:
※ 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;  18的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公约数,6是它们的最大公约数。
※ 公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1)1和任何自然数互质。
2)相邻的两个自然数互质。
3)两个不同的质数互质。
4)当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
5)两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
※ 如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。

※ 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。。
※ 如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。

(二)小数

1 】  小数的意义:
※ 把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
※ 一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
※ 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
※ 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2】  小数的分类
※ 纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如: 0.25 、 0.368 都是纯小数。
※ 带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如: 3.25 、 5.26 都是带小数。
※ 有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。 例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
※ 无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。 例如: 4.33 …… 3.1415926 ……
※ 无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。 例如:
※ 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。 例如: 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
※ 纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。 例如: 3.111 …… 0.5656 ……
※ 混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
※ 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如: 3.99 ……的循环节是“ 9 ” , 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。

※ 写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
例如: 3.777 …… 简写作3.     
   302302 …… 简写作0.50




(三)分数:
1 】 分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
※ 分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
※ 单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2 】  分数的分类:
※ 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
※ 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。
※ 带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3 】  约分和通分:
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
4】   百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。


(四) 负数
1】负数的定义:
负数是正数的相反数。在实际生活中,我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。
2】负数的作用:
1、负数是在人为规定正方向的前提下出现的。
2、负数常用来表示和正数意义相反的量。
3、在选择用正数还是负数表示时,首先看是否规定了正方向。
4、一般含有褒义的量用正数表示,含有贬义的量则用负数表示。
3】负数的特征:
※任何正数前加上负号“-”标记(即相当于减号)。都等于负数。
※负数比零小,正数都比零大。
※零既不是正数,也不是负数。它是正数和负数的分界。
※在数轴上,从左到右的顺序就是数从小到大的顺序.
※在数轴线上,负数都在0的左侧.
4】例题:请问上升7米和向东运动9米可记为 +7米和-9米吗?是具有相反意义的量吗?
参考答案: 不可以记为+7米和-9米。
  说明: 具有相反意义的量必须满足两个条件:(1)它们必须是同一属性的量;(2)它们的意义相反。上升 和下降;向东运动和向西运动才是相反意义的量,因为上升和向东运动不是具有相反意义的量,所以不可 以记为+7米和-9米。
方法
(一)数的读法和写法 :
1】. 整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
2】. 整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
3】. 小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4】. 小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5】. 分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
6】. 分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
7】. 百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
8】. 百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
9】. 负数的读法:先读”负”,后面读出正数即可.
10】. 负数的写法:正数前加上 “-”标记(即相当于减号)。

(二)数的改写:
1】. 准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
2】. 近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。 例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
3】. 四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。例如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
4】. 大小比较
※ 比较整数大小:比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
※  比较小数的大小:先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
※ 比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)数的互化
整数:
1】整数化成小数:  整数.0(你喜欢多少个0都可以)
2】整数化分数:  整数/1
3】整数化百分数: 整数乘以100再加上符号%
小数:
1】小数基本不能化成整数; (只有小数点后面全部为0的可以,只要把0和小数点删除就可以了,其他的只能约等于整数)
2】小数化分数:该小数去掉0和小数点/1+N个0(N为原小数的小数点后有几位小数,就在1后面添几个0)。最后约分到最简分数。
3】小数化百分数:小数乘以100再加上%
分数:
1】分数基本不能化成整数;(只有分子是分母的整数倍的可以,其他的只能约等于整数)
2】分数化小数:用分子除以分母。
3】分数化百分数:先把分数化成小数,再化百分数。
百分数:
1】百分数基本不能化成整数;(只有百分数数字是100的整数倍的可以,其他的只能约等于整数)
2】百分数化为小数:去掉%,数值除以100(基本上就是小数点往左移两个位)
3】百分数化分数:先将百分数化小数,然后从小数化为分数


(四)数的整除
1】. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
2】. 求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 。
3】. 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
4】. 成为互质关系的两个数:
1和任何自然数互质 ;
相邻的两个自然数互质;
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;
两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。
(五) 约分和通分 :
※ 约分的方法:用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
※ 通分的方法:先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

性质和规律
1】商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数 (零除外),商不变。  
即a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c) (c≠0)
2】小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
3】 小数点位置的移动引起小数大小的变化:
※. 小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍……
※. 小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍……
※. 小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。
4】 分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
5】 分数与除法的关系
※. 被除数÷除数= 被除数/除数
※. 因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
※. 被除数相当于分子,除数相当于分母。

运算的意义
(一)数的四则运算
1】加法:把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部分数,和是总数。
2】减法:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。被减数是总数,减数和差分别是部分数。
※ 加法和减法互为逆运算。
3】乘法:求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
※ 在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
※ 在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
4 】除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
※ 乘法和除法互为逆运算。
※ 在除法里,0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
5】小数加减法要注意:
(1)小数点对齐,也是把数位对齐。
(2)从最低位算起。
(3)得数的末尾有0,一般要把0去掉。
6】.一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。

(二)四则运算式子各部分的关系:

(1)一个加数+另一个加数=和    
一个加数=和-另一个加数    
被减数-减数=差
被减数=差+减数
减数=被减数-差

(2)一个因数×另一个因数=积
一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商
被除数=商×除数
除数=被除数÷商
被除数-除数×商=0

(3)被除数=商×除数+余数
除数=(被除数-余数)÷商
余数=被除数-商×除数

(三)运算定律
1】. 加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。
2】. 加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。
3】. 乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4】. 乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5】. 乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6】. 减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c) 。
7】.除法性质:
※  一个数连续除以几个数,可以除以后几个数的积,也可以先除以第一个除数,再除以第二个除数。
即a÷b÷c=a÷(b×c)

(四)运算法则
1】. 整数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2】. 整数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3】. 整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
4】. 整数除法计算法则:先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位; 如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
5】. 小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6】. 除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。

7】. 除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8】. 同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
9】. 异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
※ 根据分数的基本性质,把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数,叫做通分。
通分方法:求出原来几个分数的分母的最小公倍数
10】. 带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
11】. 分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
12】. 分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
13】.四则运算法则:加法、减法、乘法和除法统称四则运算。算式里有括号,要先算括号里面的。在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要从左往右按顺序计算,有乘、除法和加、减法,要先算乘、除法。

(五) 代数初步知识
1】用字母表示数的意义:用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。
例如:路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系: s=vt v=s/t t=s/v
2】注意事项:
※数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。
例:ab=a.b=ab
※当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
例:1
※在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。
※用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。
3】 将数值代入式子求值:
* 把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是数,后面不写单位名称。
* 同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。
4】 用字母表示几何形体的公式:
平面图形的周长、面积计算公式表
图形名 周长公式(c) 面积公式(s) 备注
长方形 c=2(a+b) s=ab a代表长,
b代表宽。
正方形 c=4a s=a=a2 a代表边长
平行四边形 s=ah a代表底,
h代表高。
梯形
a代表上底,
b代表下底;
h代表高。
三角形 a代表底,
h代表高。
圆 C=d     C=2r
S =r2 r表示半径
d表示直径
c表示周长,
表示圆周率
扇形 同上
立体图形的表面积、体积计算公式表
形体 表面积公式(S表) 体积公式(V) 备注
长方体 s=2(ab+ah+bh) V=abh a代表长;b代表宽;h代表高
正方体 S=6a2 V=a3 a代表棱长
圆柱体 S侧=ch
S表=S侧+2S底
V=Sh 高用h表示,底面周长用c表示
圆锥体 高用h表示

(六) 比和比例
一.比的意义和性质
1】 比的意义: 两个数相除又叫做两个数的比。 写作A :B
“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
2】比的性质
※比的前项相当于分子,后项相当于分母,比的后项不能是零。
※比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
※ 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,
※ 比的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
3】 比例尺:
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小或扩大的程度。
※ 比例尺= 图上距离:实际距离 或
※ 比例尺有三种表示方法: 数字式,线段式,和文字式。
(1)数字式,用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米, 可写成:1∶50,000,000
或写成:1/50,000,000。
(2)线段式,在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
(3)文字式,在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米,如:图上1厘米相当于地面距离500千米,或五千万分之一。
※ 特别注意:
•图上距离做前项,实际距离做后项。
•图上距离和实际距离单位统一再化简。
•比例尺是一个比,不应带计量单位。
•为了计算简便,通常把比例尺写成前项(后项)为1的比。
例如“1︰100 1︰100000000 2︰1
※ 求比例尺的方法是:
(1)写出图上距离和实际距离的比;
(2)统一这个比的单位,去掉单位后化简成前项是1的比。
※ 比与分数、除法的关系
项目符号 比a:b=c 分数 除法a÷b=c
a 前项 分子 被除数
符号 比号 分数线 除号
b 后项 分母 除数
c 比值 分数值 商
性质 前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变 分数的基本性质
商不变的基本性质

4】 按比例分配: 在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
二 比例的意义和性质
(1) 比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。

(2)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 a×d=b×c
(3)解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。
(4)正比例和反比例
※ 成正比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示 :
※ 成反比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示 : x×y=k (一定)
※ 判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是否相等。
二)图形

1】 长度单位(进率是10):
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米       ※  1米=10分米=100厘米=1000毫米;
※  1公里=1千米
* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

2】  面积单位(进率是100):
1平方千米=100公顷=1000000平方米;
1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
※ 1平方米=100平方分米=10000平方厘米=1000000平方毫米;
1平方分米=100平方厘米=10000平方毫米;
1亩=666.666平方米。

3】  体积单位(进率是1000):
1立方米=1000立方分米    1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米
※ 1升=1立方分米=1000毫升
1毫升=1立方厘米
※  1方=1立方米

1】射线:有一个端点,可以向一端无限延伸;没有长度.
直线:有0个端点,可以向两端无限延伸;没有长度.
线段:有两个端点, 有一定长度;
弧线:圆上A、B两点间的部分叫做弧。
        
2】 ※从一点出发可以画无数条射线;
※经过一点可以画无数条直线;
※经过两点只能画一条直线。 ※两点之间,线段最短.
3】 ※ 在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。
※ 如果两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。

4】 ※ 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。  ※   如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线也互相平行。
5】 ※ 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,它的长度叫做这点到直线的距离。
※ 平行线之间的距离处处相等。
6】 ※ 过直线外一点只能画一条已知直线的垂线;过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。

1】、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点是角的         顶点,这两条射线是角的边 。角通常用符号“∠”来表示。
2】、量角的大小,要用量角器。
角的计量单位是“度”,用符号“°”表示。把半圆分成180等份,每一份所对的角的大小是1度,记作:1°。
3】、角的大小与角的两边画出的长短没有关系,角的大小要看两边叉开的大小,叉开得越大,角越大。
4】、我们学过的角有:锐角、直角、钝角、平角、周角。
锐角小于90度; 直角等于90度; 
钝角大于90度而小于180度;  
平角等于180度;  周角等于360度。 
1平角=2直角;     1周角=2平角=4直角
  ;
1】面积;就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。(面积用字母S表示)
2】体积;就是物体所占空间的大小。(体积用字母V表示)
3】容积;一个容器所能容纳物体体积的多少叫做该容器的容积。(容积用V表示)
4】周长:图形一周的长度,就是图形的周长。周长的长度因此亦相等于图形所有边的和。(一般用字母C表示)

1、画一个角的步骤如下:
  ⑴画一条射线,使量角器的中心和射线的端点重合,零刻度线和射线重合;
  ⑵在量角器所取刻度线的地方点一个点;
  ⑶以画出的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。
2、垂线的画法: 1)过直线上一点画这条直线的垂线。 2)过直线外一点画这条直线的垂线。


3、画平行线的步骤是:
  ⑴ 固定三角板,沿一条直角边先画一条直线;
  ⑵ 用直尺紧靠三角板的另一条直线边,固定直尺然后平移三角板;
  ⑶ 再沿一条直角边画出另一条直线
平面图形

※  在同一平面上,由三条线段组成的(每相邻两条线段的端点相连)内角和为180°的封闭图形叫做三角形。
※  三角形是几何图案的基本图形,各种多边形都是由三角形组成的。
三角形分类:
(1)按角度分;
a】.锐角三角形:三个角都小于90度。  
b】.直角三角形:一个角是直角.
c】.钝角三角形:其中一个角必须大于90度。

(2)按边分;
※不等边三角形:三条边都不相等.

※等腰三角形:二条边相等;两个底角相等;有一条对称轴。 
※等边三角形:三条边相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。


⊿】  三角形的高:在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高,简称为高。

        

※  三角形的高是一条线段。
※  由于三角形有三条边,所以三角形有三条高。
※  锐角三角形的高都在三角形的内部;钝角三角形的高中有两条在三角形的外部;直角三角形的高中有两条恰好是三角形的两条直角边。
⊿】  三角形的面积=底×高÷2   
公式 S= a×h÷2   (底是a 高是h)
三角形性质:
1】.三角形的两边的和一定大于第三边。
2】.三角形内角和等于180度
3】.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
4】.等底等高的三角形面积相等。
5】.三角形具有稳定性。
6】:※ 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
※ 用两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形。
※ 用两个完全一样的直角等腰三角形可以拼成一个正方形。
※ 用三个完全一样的三角形可以拼成一个梯形。

※ 在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质:
※ 两组对边分别平行的四边形。
※ 相对的边平行且相等。
※ 对角相等,相邻的两个角的度数之和为180度。
※ 平行四边形容易变形。
平行四边形的面积公式:
S =ah底×高( “h”表示高,“a”表示底,“S”面积)

性质:
※ 有四条边 ,对边平行且相等 .
※ 四个角都是直角
※ 有2条对称轴
※ 长方形是特殊的平行四边形
※ 长方形有无数条高
※ 长方形相邻的两条边互相垂直
※ 水平的那一边为长,垂直的那一边为宽
长方形面积公式:  
S =ab 长×宽  (“S” 表示面积,“a”表示长,“b”表示宽)
长方形周长公式:
C=2(a+b)    (  C 代表周长  ) 

性质:
※ 四条边平行且相等,
※ 四个角都是直角的四边形。
※ 有4条对称轴。
※ 正方形是特殊的长方形.
※ 相邻的两条边互相垂直
正方形面积公式: S=a2   (“S” 表示面积,“a”表示边长)
长方形周长公式:C=4a    (  C 代表周长  )

梯形:梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。
※ 平行的两边叫做梯形的底边,其中长边叫下底,短边叫上底;
※ 不平行的两边叫腰;夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
※ 一腰垂直于底的梯形叫直角梯形,
※ 两腰相等的梯形叫等腰梯形
梯形的面积公式:
(上底+下底)×高÷2 用字母表示:S=(a+b)×h÷2
 ※ 变形1:h=2s÷(a+b)
 ※ 变形2:a=2s÷h-b
 ※ 变形3:b=2s÷h-a
梯形的周长公式:
上底+下底+腰+腰     用字母表示:a+b+c+d

※ 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹叫做圆。
※ 平面上的一种曲线图形。
※ 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
※ 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
※ 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
※ 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母表示。
性质:
※ 在同一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。
※ 同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。
※ 同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即d=2r。
※ 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。

圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,
面积用s表示,圆周率。用字母表示。

圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆的面积 计算公式:    S =r2
圆的周长 :围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
圆的周长计算公式 :C=d     C=2r


※ 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
※ 圆上AB两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。
※ 顶点在圆心的角叫做圆心角。
※ 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
※ 扇形有一条对称轴。
扇形面积公式: s=nr2/360

环形
※ 由两个半径不相等的同心圆相减而成,有无数条对称轴。
环形面积公式: s=(R2-r2)
轴对称图形
※ 如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
※ 等腰三角形有2条对称轴
※ 等边三角形有3条对称轴。
※ 长方形有2条对称轴。
※ 正方形有4条对称轴,
※ 等腰梯形有一条对称轴,
※ 圆有无数条对称轴。
※ 扇形有一条对称轴。
※ 环形有无数条对称轴。
立体图形             
          
由六个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫长方体.
※长方体的每一个矩形都叫做长方体的面,面与面相交的线叫做长方体的棱,三条棱相交的点叫长方体的顶点,相交于一个顶点较长的棱叫做长,较短的棱叫做宽,垂直于底面的棱叫做高。
长方体的特征:
1】长方体有6个面,每个面都是长方形,至少有两个相对的两个面完全相同。特殊情况时有两个面是正方形,其他四个面都是长方形,并且完全相同。 
2】长方体有12条棱,相对的棱长度相等。可分为三组,每一组有4条棱。还可分为四组,每一组有3条棱。 
3】长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。
4】长方体相邻的两条棱互相(相互)垂直。
长方体的表面积:
长方体的长、宽、高分别表示为a、b、c,它的表面积用S表示
S = 2ab + 2bc+ 2ca= 2 ( ab + bc + ca)
长方体的体积:
长方体的体积=长×宽×高
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则它的体积V:
V = abc=Sh
长方体的展开图:










           
正方体的定义          
侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体,即棱长都相等的六面体,又称“立方体”、“正六面体”。
正方体的特征:
〔1〕】有6个面,每个面完全相同。 
〔2〕】有8个顶点。
〔3〕】有12条棱,每条棱长度相等。
(4)】相邻的两条棱互相(相互)垂直。
(5)】正方体是特殊的长方体。
正方体的表面积:(正方体的棱长为a,它的表面积为S)
※   因为6个面全部相等,所以正方体的
表面积=一个面的面积×6=棱长×棱长×6
正方体表面积公式:S=6×a×a
正方体的体积:
※   正方体的体积=棱长×棱长×棱长;  
正方体体积公式:  V=a×a×a
正方体体积的固定概念:
※  棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。
   棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。
   棱长是1米的正方体,体积是1立方米。
正方体的十一种平面展开图:






正方体:中间四个面,上下各一面(6种摆法-141)
中间三个面,一二隔河见(3种摆法-132/231)
中间二个面,楼梯天天见(1种摆法-222)
中间没有面,三三连一线(1种摆法-33)


定义: 以一个圆为底面,上或下移动一定的距离,所经过的空间叫做圆柱体。
性质:
1】.圆柱的两个圆面叫底面,周围的面叫侧面,一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的。
2】.圆柱体的两个底面是完全相同的两个圆面。两个底面之间的距离是圆柱体的高。
3】.圆柱体的侧面是一个曲面,圆柱体的侧面的展开图是一个长方形或正方形。
4】.等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍
5】.圆柱体可以用一个平行四边形围成
计算公式 :
圆柱的底面积 S=πr2
圆柱的侧面积=底面周长x高,
即: S侧面积=Ch=2πrh
底面周长C=2πr=πd
圆柱的表面积=侧面积+底面积x2
即:S表面积=2πr2+Ch=2πr(r+h)
圆柱的体积=底面积x高
即 V=S底面积×h=πr2×h= (π×r×r)h
  
              
圆锥的认识:
※ 圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面。
※ 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
※ 测量圆锥的高:先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。
※ 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
计算公式:
圆锥体的体积=底面积×高×1/3 v= sh/3
(圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一)

我们见到钢管和圆木堆成梯形的形状,我们学用下面方法求总根数 :
2








三) 统计与概率
一 统计表
* 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就叫做统计表。
组成部分
1】 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
2】种类:
* 单式统计表:只含有一个项目的统计表。
某民办小学建校以来每年招收一年级学生数的情况。
年份 合计 1998年 1999年 2000年 2001年 2002年
人数 95 132 151 184 283

* 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。

* 百分数统计表:不仅表明各统计项目的具体数量,而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
产 值 项目
镇别 总产值
亿 元 农业产值
亿元 农业产值占总产值的百分数
合 计 15.2 4.43 29.1%
石 桥 镇 7.2 1.78 24.7%
横 街 镇 3.6 1.09 30.3%
三 埠 镇 2.8 0.94 33.6%
绿 溪 镇 1.6 0.62 38.8%

3】制作步骤:
搜集数据
整理数据: 要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。
设计草表: 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法,规定横栏、竖栏各需几格,每格长度。
正式制表:
把核对过的数据填入表中,并根据制表要求,用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。

※ 填空。
1、我们学过的常用统计形式有( )和( )。
2、一般情况下,数据整理时较常用的方法是画( )字。
3、条形统计图用( )的长短来表示数量的多少,折线统计图用折线上的( )来表示数量的多少。
4、能清楚地反映出各种数量的多少的统计图是( ),不仅能反映数量的多少,还能反映数量增减变化情况的统计图是( )。
二 统计图
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
1】分类
条形统计图:通常有纵向统计图 和 横向统计图 两种。
用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。




※ 优点:很容易看出各种数量的多少。
※ 注意:画条形统计图时,直条的宽窄必须相同。
※ 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定;
※ 复式条形统计图中表示不同项目的直条,要用不同的线条或颜色 区别开,并在制图日期下面注明图例。
※条形统计图中,一定要看清楚一格是表示多少个单位(数量)。
※ 制作条形统计图的一般步骤:
(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。
(2)在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直线的宽度和间隔。
(3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。
(4)按照数据的大小画出长短不同的直条,并注明数量。

折线统计图:
用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来。






※ 优点:不但可以表示数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
※ 注意:折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时,不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
※ 制作折线统计图的一般步骤:
(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。
(2)在水平射线上,适当分配折线的位置,确定直线的宽度和间隔。
(3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。
(4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来,并注明数量。

扇形统计图:
用整个圆的面积表示总数,用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。




※ 优点:很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
※ 制扇形统计图的一般步骤:
(1)先算出各部分数量占总量的百分之几。
(2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
(3)取适当的半径画一个圆,并按照上面算出的圆心角的度数,在圆里画出各个扇形。
(4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数,并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
※ 各种统计图的特点:
条形统计图 用直条的长短表示数量的多少 便于对数量的多少直接进行比较
折线统计图 用不同位置的点表示数量的多少,并用折线的上升或下降来表示数量的增减变化情况 便于反映数量发展变化的趋势
扇形统计图 以一个圆的面积表示事物的总体,以相应的扇形面积表示各有关部分占总体的百分数 便于呈现总体与其各部分之间的关系
※①绘制统计图时,要能清楚地表示出数量增减变化的情况,
可以选用( )统计图。
②要制出能反映三个或三个以上项目以及关系的统计表,
应制成( )统计表。
③为了给病人描绘体温变化情况应选择( )统计图。
三 概率
又称机会率或机率、可能性.
1】 中位数
定义:中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来,形成一个数列,处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数.
作用和特点:
※反映了一组数的一般情况。从中位数的定义可知,所研究的数据中有一半小于中位数,一半大于中位数。 
※中位数的优缺点:不受少数几个极端值的影响,有时用它代表全体数据的一般水平更合适。中位数不受其数据分布两端数据的影响,因此中位数缺乏灵敏性,不能充分利用所有数据的信息。
计算方法:
1.求中位数,首先要先进行数据的排序(从小到大或从大到小),然后计算中位数的序号,分数据为奇数与偶数两种来求。(排序时,相同的数字不能省略)
2.如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数
3.如果总数个数是偶数的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数
例:2、3、4、5、6、7 中位数:(4+5)/2=4.5
※ 注意:是从小到大,或者从大到小,不是随意乱排。
※ 中位数是一组数据的中间水平。
2】 众数
定义:
 一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。例如:1,2,3,3,4的众数是3。
  但是,如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的,那么这几个数都是这组数据的众数。
  例如:1,2,2,3,3,4的众数是2和3。
  还有,如果所有数据出现的次数都一样,那么这组数据没有众数。
  例如:1,2,3,4,5没有众数。
特点:
  ※众数是样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值,主要应用于大面积普查研究之中。
  ※众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,是一组数据中的原数据,而不是相应的次数。
※一组数据中的众数不止一个,
如数据2、3、-1、2、1、3中,2、3都出现了两次,它们都是这组数据中的众数。
※是一组数据中占比例最多的那个数。  
计算方法:
根据单项数列求众数,不需要任何计算,可以直接从分配数列中找出出现次数或频率最大的一组标志值,就是所求的众数。
3】 平均数。
①平均数定义
平均数一般是指算术平均数,也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。
②平均数的优点。
反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定.
③平均数的缺点。
※平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算,因此,在数据 有个别缺失的情况下,则无法准确计算。特别是当一组数量较大的数据,其计算的工作量也较大。
※平均数易受极端数据的影响,从而使人对平均数产生怀疑。这也就是为什么在许多竞赛场合下对评委亮分后的成绩分数,要去掉一个最高分和一个最低分,尔后再计算平均数的一种考虑。
平均数的计算:
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。


中位数、众数、平均数三者的适用范围不同:
1.平均数的计算中要用到每一个数据,因而它反映的是一组数据的总体水平
2.中位数是一组数据的中间量,代表了中等水平。
3.众数代表的是一组数据的多数水平,
四) 位置与方向
1、口诀要牢记:上北下南,左西右东。
2、东与西相对,南与北相对。 (东北对西南 ,东南对西北)
3、地图通常是按上北下南,左西右东绘制的。
4、东→南→西→北,是按顺时针方向转。

4、判断一个地方在什么方向,先要找到一个为中心点 ,在进行判断。确定了一个点,除了知道方向,还要知道距离。

5、判断方向我们一般使用:指南针和借助身边的事物。我国早在两千多年就发明了指四方向的——司南。
在方格纸上用数对确定物体的位置:
先找出数对表示的是第几列,第几行,然后在列数与行数相交处描点。表示为:(列数,行数)
竖为列;横为行。列在前,行在后。
五) 时间:
(一)年 月 日
1】重要的日子:1949年10月1日,中华人民共和国成立。1月1日元旦节。3月12日植树节,5月1日劳动节,6月1日儿童节,7月1日建党节,8月1日建军节,9月10日教师节,10月1日国庆节。
2】 一年当中 1、3、5、7、8、10、12 这 7 个月是31天, 4、6、9、11这 4 个月是30天。
3】平年2月28天,闰年2月29天。平年全年365天,闰年全年366天。 平年与闰年大月、小月天数是相同的,只有二月,闰年比平年多一天。
4】季度: 一年分四季度,每3个月为季,
一、二、三月是 第一季度(平年有90天,闰年有91天),
四、五、六月是 第二季度(有91天),
七、八、九月是 第三季度(92天),
十、十一、十二月是 第四季度(有92天)。
5】公历年份是4的倍数一般都是闰年,但公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年。如1900年不是闰年而是平年。
6】推算星期几的方法: 例:已知今天星期三,再过50天星期几?
解:因为一个星期是七天,那么由50÷7=7(星期)……1(天),知道50天里有7个星期多一天,所以第50天是星期四。
(二) 24计时法
1】 普通计时法又叫12时计时法:就是把一天分成两个12时表示,在表示的时间前必须加上大概的时间段词语(如凌晨、早上、上午、下午、晚上)
2】 24时计时法:就是把一天分成24时表示,在表示的时间前可以加或可以不加表示的大概时间段得词语。
3】 普通计时法转换成24时计时法时,超过下午1时的时刻用24时计时法表示就是把原来的时刻加上12。 比如:午3日→3+12=15时
反过来要把24时计时法表示的时刻表示成普通计时法的时刻,超过13时的时刻就减12,并加上下午,晚上等字在时刻前面。 比如:16时等于16-12=下午4时。
4】 计算经过时间,就是用结束时刻减开始时刻。
结束时刻 — 开始时刻=时间段(经过时间)
比如:10:00开始营业,22:00结束营业,
营业时间为:22:00—10:00=12(小时)
5】 常用的时间单位有:年、 月、 日、 时、 分、 秒。
时间单位进率: 1世纪=100年
1年=12个月
1天(日)=24小时
1小时=60分钟
1分钟=60秒钟
六) 简易方程
一 ,等式
1】 定义含有等号的式子叫做等式。
2】 形式:把相等的两个数(或字母表示的数)用等号连接起来。
等式的性质:
①:等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等。
  若a=b 那么a+c=b+c 或a-c=b-c
②:等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 若a=b 那么有a·c=b·c 或a÷c=b÷c (c≠0)
二,方程和方程的解
1】方程:含有未知数的等式叫做方程。
例如:100+x=260
注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。 并且只有当未知数为特定的数值时 ,方程才成立 。
2】方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
例如:100+x=260 那么x=160 ; 160就是方程的解
三,解方程
解方程,求方程的解的过程叫做解方程。
(1)有分母先去分母 (2)有括号就去括号
(3)需要移项就进行移项 (4)合并同类项
(5)系数化为1求得未知数的值

七) 数字与编码
1】 身份证编码知识:
新的身份证号码有18位。新增在第7、8、18三位。
※ 其中前两位分别是省、自治区或直辖市。
※ 3、4两位表示所在的市,
※ 5、6两位表示所以的县区。
※ 第7-14位表示出生年月日。
※ 第15、16位表示所在地派出所的代码,
※ 第17位表示性别,一般男的用奇数表示,女的用偶数表示。
※ 第18位表示校验码,也有的说是个人信息码,一般是随机产生,用来检验身份证的正确性。有时也用X表示,但是不一定是男单女双。
2】邮政编码知识:

3】有关数字编码的例子:
电话区号
车牌号码
国际标准书号………
八)问题探究
一,平均数问题:平均数是等分除法的发展。
1】※  例:一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地,又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析:求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”,则汽车行驶的总路程为“ 2 ”,从甲地到乙地的速度为 100 ,所用的时间为 ,汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ,所用的时间是 ,汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 (千米)
※  解题关键:在于确定总数量和与之相对应的总份数。
2】 算术平均数:已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数,求平均每份是多少。
• 数量关系式:数量之和÷数量的个数=算术平均数。
• 例如,某销售小组有5名销售员,元旦一天的销售额分别为520元、600元、480元、750元和500元,求该日平均销售额。
平均销售额=(520+600+480+750+500)÷5=570(元)
3】 差额平均数:是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数。
例:有甲乙两个书架。甲书架上有书940本,乙书架上有书1280本。要使两书架上书的本数相等,应从乙书架取多少本书放入甲书架?•  • 先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份。
(1280-940)÷2=170
(二)归一问题:已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称之为归一问题。
⊙ 例】一个织布工人,在七月份织布 4774 米 , 照这样计算,织布 6930 米 ,需要多少天?
• 分析:必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量(477 4 ÷ 31)
693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)
• 数量关系式:单一量×份数=总数量(正归一)
• 解题关键:从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。
(三)归总问题:是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。
※  例】修一条水渠,原计划每天修 800 米 , 6 天修完。实际 4 天修完,每天修了多少米?
• 分析:因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量。
•    80 0 × 6 ÷ 4=1200 (米)
•  数量关系式:
单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量
•  特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通。
(四) 和差问题:已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
※  例】 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少 12 人,求原来甲班和乙班各有多少人?
•  分析:从乙班调 46 人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成 2 个乙班,即 9 4 - 12 ,由此得到现在的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人),乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人),甲班为 9 4 - 87=7 (人)
•  解题关键:是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和),然后再求另一个数。
•  解题规律:(和+差)÷2 = 大数    (和-差)÷2=小数  
(五)和倍问题:已知两个数的和及它们之间的倍数 关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。
※ 例】 汽车运输场有大小货车 115 辆,大货车比小货车的 5 倍多 7 辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
• 分析:大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆,这 7 辆也在总数 115 辆内,为了使总数与( 5+1 )倍对应,总车辆数应( 115-7 )辆 。
列式为( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (辆), 18 × 5+7=97 (辆)
• 解题规律:和÷倍数和=标准数   标准数×倍数=另一个数
• 解题关键:找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。
(六)差倍问题:已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。
※  例】 甲乙两根绳子,甲绳长 63 米 ,乙绳长 29 米 ,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍,甲乙两绳所剩长度各多少米? 各减去多少米?
•   分析:两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍,实比乙绳多( 3-1 )倍,以乙绳的长度为标准数。列式( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)…乙绳剩下的长度, 17 × 3=51 (米)…甲绳剩下的长度, 29-17=12 (米)…剪去的长度。
• 解题规律:两个数的差÷(倍数-1 )= 标准数
标准数×倍数=另一个数。
(七)行程问题:
※  例】 甲在乙的后面 28 千米 ,两人同时同向而行,甲每小时行 16 千米 ,乙每小时行 9 千米 ,甲几小时追上乙?
•  分析:甲每小时比乙多行( 16-9 )千米,也就是甲每小时可以追近乙( 16-9 )千米,这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 (追击路程), 28 千米 里包含着几个( 16-9 )千米,也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小时)
• 同时同地相背而行:路程=速度和×时间。
• 同时相向而行:相遇时间=速度和×时间
•同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及时间=路程速度差。
•同时同地同向而行(速度慢在后,快的在前):路程=速度差×时间。
(八)流水问题:也是一种和差问题。
※  例】 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行 28 千米 ,到乙地后,又逆水航行,回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时,已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米?
•  分析:此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间,或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度,因此不难算出逆水的速度,但顺水所用的时间,逆水所用的时间不知道,只知道顺水比逆水少用 2 小时,抓住这一点,就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地的路程。
•  列式为:28-4-4=20 (千米)逆水速度
2 0 × 2 =40 (千米)逆水速度形成的距离差值;
 40 ÷( 4 +4) =5 (小时)
(距离差值和速度差值比,得出顺水所用时间)
28 × 5=140 (千米)两地距离
※ 解题关键:
船速:船在静水中航行的速度。 水速:水流动的速度。
顺水速度:船顺流航行的速度。 逆水速度:船逆流航行的速度。
顺速=船速+水速    逆速=船速-水速
※ 解题规律:船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2
流水速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
(九) 还原问题:已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。
※  例】  某小学三年级四个班共有学生 168 人,如果四班调 3 人到三班,三班调 6 人到二班,二班调 6 人到一班,一班调 2 人到四班,则四个班的人数相等,四个班原有学生多少人?
•  分析:当四个班人数相等时,应为 168 ÷ 4 ,以四班为例,它调给三班 3 人,又从一班调入 2 人,所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。
四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 (人)
(十)植树问题:
※ 例】 沿公路一旁埋电线杆 301 根,每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装,只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
• 分析:本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉1,得出301棵电线杆之间有多少个间隔。
列式为 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)
• 解题规律:沿线段植树
棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷(棵树-1) 总路程=株距×(棵树-1)
• 沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
(十一 )盈亏问题:
※ 是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足(或两次都有余),或两次都不足),已知所余和不足的数量,求物品适量和参加分配人数的问题,叫做盈亏问题。
※  例】 参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组 10 人,则多 25 支,如果小组有 12 人,色笔多余 5 支。求每人 分得几支?共有多少支色铅笔?
•  分析:每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人,比 10 人多 2 人,而色笔多出了( 25-5 ) =20 支 , 2 个人多出 20 支,一个人分得 10 支。列式为( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支)
10 × 12+5=125 (支)。
• 解题规律:总差额÷每人差额=人数
• 总差额的求法可以分为以下四种情况:
第一次多余,第二次不足,总差额=多余+ 不足
第一次正好,第二次多余或不足 ,总差额=多余或不足
第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余
第一次不足,第二次也不足, 总差额= 大不足-小不足
• 解题关键:盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额),用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数。

(十二)年龄问题:将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为“年龄问题”。
※  例】  父亲 48 岁,儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍?
•  分析:父子的年龄差为 48-21=27 (岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍,可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为: 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)
•  解题关键:主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。
(十三)鸡兔问题:
※ 例】  鸡兔同笼共 50 个头, 170 条腿。问鸡兔各有多少只?
•  分析:兔子只数 ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只)
鸡的只数 50-35=15 (只)
•  解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。
解题规律:(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子数
兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2
如果假设全是兔子,可以有下面的式子:
鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2
九)数学广角










重量换算:
1吨=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
******************************************************
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
16、浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
17、利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)

常见的数量关系:
总价= 单价×数量
路程= 速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量

分数和百分数的应用
1 分数加减法应用题:
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。
2分数乘法应用题:
是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。
特征:已知单位“1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量。
解题关键:准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3 分数除法应用题:
求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。
特征:已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量。求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。
解题关键:从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。
甲是乙的几分之几(百分之几):甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。
甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数 。
已知一个数的几分之几(或百分之几 ) ,求这个数。
特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量。
解题关键:准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际
数量。
4 出勤率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
5 工程问题:
是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键:把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。
数量关系式:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
6 纳税
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额 ……)的比率叫做税率。
* 利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间

小学数学速算与巧算方法例解
速算与巧算
       在小学数学中,关于整数、小数、分数的四则运算,怎么样才能算得既快又准确呢?这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序,根据题目本身的特点,综合应用各种运算定律和性质,或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式,选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程,化繁为简,化难为易,同时又会算得又快又准确。
一、“凑整”先算
  1.计算:(1)24+44+56
      (2)53+36+47
  解:(1)24+44+56=24+(44+56)
      =24+100=124
  这样想:因为44+56=100是个整百的数,所以先把它们的和算出来.
    (2)53+36+47=53+47+36
      =(53+47)+36=100+36=136
  这样想:因为53+47=100是个整百的数,所以先把+47带着符号搬家,搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.
  2.计算:(1)96+15
      (2)52+69
  解:(1)96+15=96+(4+11)
      =(96+4)+11=100+11=111
  这样想:把15分拆成15=4+11,这是因为96+4=100,可凑整先算.
    (2)52+69=(21+31)+69
      =21+(31+69)=21+100=121
  这样想:因为69+31=100,所以把52分拆成21与31之和,再把31+69=100凑整先算.
  3.计算:(1)63+18+19
      (2)28+28+28
  解:(1)63+18+19
    =60+2+1+18+19
    =60+(2+18)+(1+19)
    =60+20+20=100
  这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
    (2)28+28+28
    =(28+2)+(28+2)+(28+2)-6
    =30+30+30-6=90-6=84
  这样想:因为28+2=30可凑整,但最后要把多加的三个2减去.
  二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中,运算顺序可改变
  计算:(1)45-18+19
     (2)45+18-19
  解:(1)45-18+19=45+19-18
    =45+(19-18)=45+1=46
  这样想:把+19带着符号搬家,搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
    (2)45+18-19=45+(18-19)
    =45-1=44
  这样想:加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
  相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列,如:
  1,2,3,4,5,6,7,8,9
  1,3,5,7,9
  2,4,6,8,10
  3,6,9,12,15
  4,8,12,16,20等等都是等差连续数.
  1. 等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数乘以个数,简记成:
  (1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9
  =5×9 中间数是5
  =45 共9个数
  (2)计算:1+3+5+7+9
  =5×5 中间数是5
  =25 共有5个数
  (3)计算:2+4+6+8+10
  =6×5 中间数是6
  =30 共有5个数
  (4)计算:3+6+9+12+15
  =9×5 中间数是9
  =45 共有5个数
  (5)计算:4+8+12+16+20
  =12×5 中间数是12
  =60 共有5个数
  2. 等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半,简记成:
  (1)计算:
  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
  =(1+10)×5=11×5=55
  共10个数,个数的一半是5,首数是1,末数是10.
  (2)计算:
  3+5+7+9+11+13+15+17
  =(3+17)×4=20×4=80
  共8个数,个数的一半是4,首数是3,末数是17.
  (3)计算:
  2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
  =(2+20)×5=110
  共10个数,个数的一半是5,首数是2,末数是20.
四、基准数法
  (1)计算:23+20+19+22+18+21
  解:仔细观察,各个加数的大小都接近20,所以可以把每个加数先按20相加,然后再把少算的加上,把多算的减去.
  23+20+19+22+18+21
  =20×6+3+0-1+2-2+1
  =120+3=123
  6个加数都按20相加,其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”,所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”,所以再减去“1”,以此类推.
  (2)计算:102+100+99+101+98
  解:方法1:仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选100为基准数,采用基准数法进行巧算.
  102+100+99+101+98
  =100×5+2+0-1+1-2=500
  方法2:仔细观察,可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家)
  102+100+99+101+98
  =98+99+100+101+102
  =100×5=500
  可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,个数是5. 
  加法中的巧算
  1.什么叫“补数”?
  两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
  如:1+9=10,3+7=10,
  2+8=10,4+6=10,
  5+5=10。
  又如:11+89=100,33+67=100,
  22+78=100,44+56=100,
  55+45=100,
  在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
  对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。
  如: 87655→12345, 46802→53198,
  87362→12638,…
  下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。
  2.互补数先加。
例1 巧算下面各题:
  ①36+87+64②99+136+101
  ③ 1361+972+639+28
  解:①式=(36+64)+87
  =100+87=187
  ②式=(99+101)+136
  =200+136=336
  ③式=(1361+639)+(972+28)
  =2000+1000=3000
  3.拆出补数来先加。
  例2 ①188+873 ②548+996 ③9898+203
  解:①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)
  =200+861=1061
  ②式=(548-4)+(996+4)
  =544+1000=1544
  ③式=(9898+102)+(203-102)
  =10000+101=10101
  4.竖式运算中互补数先加。
  如: 
 
  二、减法中的巧算
  1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
  例 3① 300-73-27
  ② 1000-90-80-20-10
  解:①式= 300-(73+ 27)
  =300-100=200
  ②式=1000-(90+80+20+10)
  =1000-200=800
  2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
  例4① 4723-(723+189)
  ② 2356-159-256
  解:①式=4723-723-189
  =4000-189=3811
  ②式=2356-256-159
  =2100-159
  =1941
  3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。
  例 5 ①506-397
  ②323-189
  ③467+997
  ④987-178-222-390
  解:①式=500+6-400+3(把多减的 3再加上)
  =109
  ②式=323-200+11(把多减的11再加上)
  =123+11=134
  ③式=467+1000-3(把多加的3再减去)
  =1464
  ④式=987-(178+222)-390
  =987-400-400+10=197
  三、加减混合式的巧算
  1.去括号和添括号的法则
  在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即:
  a+(b+c+d)=a+b+c+d
  a-(b+a+d)=a-b-c-d
  a-(b-c)=a-b+c
例6 ①100+(10+20+30)
  ② 100-(10+20+3O)
  ③ 100-(30-10)
  解:①式=100+10+20+30
  =160
  ②式=100-10-20-30
  =40
  ③式=100-30+10
  =80
例7 计算下面各题:
  ① 100+10+20+30
  ② 100-10-20-30
  ③ 100-30+10
  解:①式=100+(10+20+30)
  =100+60=160
  ②式=100-(10+20+30)
  =100-60=40
  ③式=100-(30-10)
  =100-20=80
  2.带符号“搬家”
例8 计算 325+46-125+54
  解:原式=325-125+46+54
  =(325-125)+(46+54)
  =200+100=300
  注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125,+54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。
  3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉
例9 计算9+2-9+3
  解:原式=9-9+2+3=5
  4.找“基准数”法
  几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。
例10 计算 78+76+83+82+77+80+79+85
  =640
1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:
  5×2=10
  25×4=100
  125×8=1000
例1 计算①123×4×25
  ② 125×2×8×25×5×4
  解:①式=123×(4×25)
  =123×100=12300
  ②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)
  =1000×100×10=1000000
  2.分解因数,凑整先乘。
  例 2计算① 24×25
  ② 56×125
  ③ 125×5×32×5
  解:①式=6×(4×25)
  =6×100=600
  ②式=7×8×125=7×(8×125)
  =7×1000=7000
  ③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)
  =1000×100=100000
  3.应用乘法分配律。
  例3 计算① 175×34+175×66
  ②67×12+67×35+67×52+6
  解:①式=175×(34+66)
  =175×100=17500
  ②式=67×(12+35+52+1)
  = 67×100=6700
  (原式中最后一项67可看成 67×1)
  例4 计算① 123×101 ② 123×99
  解:①式=123×(100+1)=123×100+123
  =12300+123=12423
  ②式=123×(100-1)
  =12300-123=12177
  4.几种特殊因数的巧算。
例5 一个数×10,数后添0;
  一个数×100,数后添00;
  一个数×1000,数后添000;
  以此类推。
  如:15×10=150
  15×100=1500
  15×1000=15000
例6 一个数×9,数后添0,再减此数;
  一个数×99,数后添00,再减此数;
  一个数×999,数后添000,再减此数; …
  以此类推。
  如:12×9=120-12=108
  12×99=1200-12=1188
  12×999=12000-12=11988
例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。
  如:6×5=30
  16×5=80
  116×5=580。
例8 一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。
  如 2222×11=24442
 
  
  2456×11=27016
  
  
例9 一个偶数乘以15,“加半添0”.
  24×15
  =(24+12)×10
  =360
  因为
  24×15
  = 24×(10+5)
  =24×(10+10÷2)
  =24×10+24×10÷2(乘法分配律)
  =24×10+24÷2×10(带符号搬家)
  =(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例10 个位为5的两位数的自乘:十位数字×(十位数字加1)×100+25
  如15×15=1×(1+1)×100+25=225
  25×25=2×(2+1)×100+25=625
  35×35=3×(3+1)×100+25=1225
  45×45=4×(4+1)×100+25=2025
  55×55=5×(5+1)×100+25=3025
  65×65=6×(6+1)×100+25=4225
  75×75=7×(7+1)×100+25=5625
  85×85=8×(8+1)×100+25=7225
  95×95=9×(9+1)×100+25=9025
  还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可参看《算得快》一书。
  二、除法及乘除混合运算中的巧算
  1.在除法中,利用商不变的性质巧算
  商不变的性质是:被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除。
例11 计算①110÷5②3300÷25
  ③ 44000÷125
  解:①110÷5=(110×2)÷(5×2)
  =220÷10=22
  ②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)
  =13200÷100=132
  ③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)
  =352000÷1000=352
  2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。
例12 864×27÷54
  =864÷54×27
  =16×27
  =432
  3.当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数。
  例13① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5
  ③2090÷24-482÷24
  ④187÷12-63÷12-52÷12
  解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9
  =18÷9=2
  ②21÷5-6÷5=(21-6)÷5
  =15÷5=3
  ③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24
  =1608÷24=67
  ④187÷12-63÷12-52÷12
  =(187-63-52)÷12
  =72÷12=6
  4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号类似。
  即a×(b÷c)=a×b÷c 从左往右看是去括号,
  a÷(b×c)=a÷b÷c 从右往左看是添括号。
  a÷(b÷c)=a÷b×c
例14 ①1320×500÷250
  ②4000÷125÷8
  ③5600÷(28÷6)
  ④372÷162×54
  ⑤2997×729÷(81×81)
  解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250)
  =1320×2=2640
  ②4000÷125÷8=4000÷(125×8)
  =4000÷1000=4
  ③5600÷(28÷6)=5600÷28×6
  =200×6=1200
  ④372÷162×54=372÷(162÷54)
  =372÷3=124
  ⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81
  =(2997÷81)×(729÷81)=37×9
  =333
例1 计算9+99+999+9999+99999
  解:在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
   9+99+999+9999+99999
  =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
   +(100000-1)
  =10+100+1000+10000+100000-5
  =111110-5
  =111105.
例2 计算199999+19999+1999+199+19
  解:此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200)
   199999+19999+1999+199+19
  =(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
   +(19+1)-5
  =200000+20000+2000+200+20-5
  =222220-5
  =22225.
例3 计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
  
  解法2:先把两个括号内的数分别相加,再相减.第一个括号内的数相加的结果是:
  
  从1到1989共有995个奇数,凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相加的结果是:
  
  从2到1988共有994个偶数,凑成497个1990.
  1990×497+995—1990×497=995.
例4 计算 389+387+383+385+384+386+388
  解法1:认真观察每个加数,发现它们都和整数390接近,所以选390为基准数.
   389+387+383+385+384+386+388
  =390×7—1—3—7—5—6—4—
  =2730—28
  =2702.
  解法2:也可以选380为基准数,则有
   389+387+383+385+384+386+388
  =380×7+9+7+3+5+4+6+8
  =2660+42
  =2702.
例5 计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
  解:认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和,故可选4940为基准数.
   (4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
  =(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6
  =(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来,而是运
  =4940×6÷6+6÷6运用了除法中的巧算方法)
  =4940+1
  =4941.
例6 计算54+99×99+45
  解:此题表面上看没有巧妙的算法,但如果把45和54先结合可得99,就可以运用乘法分配律进行简算了.
   54+99×99+45
  =(54+45)+99×99
  =99+99×99
  =99×(1+99)
  =99×100
  =9900.
例7 计算 9999×2222+3333×3334
  解:此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将9999变为3333×3,规律就出现了.
   9999×2222+3333×3334
  =3333×3×2222+3333×3334
  =3333×6666+3333×3334
  =3333×(6666+3334)
  =3333×10000
  =33330000.
例8 1999+999×999
  解法1:1999+999×999
  =1000+999+999×999
  =1000+999×(1+999)
  =1000+999×1000
  =1000×(999+1)
  =1000×1000
  =1000000.
  解法2:1999+999×999
  =1999+999×(1000-1)
  =1999+999000-999
  =(1999-999)+999000
  =1000+999000
  =1000000.

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